数学立体几何三棱锥外接球问题一招解决高考立体几何外接球问题环球新动态

来源：　2023-06-30 21:21:57

hello大家好，我是城乡经济网小晟来为大家解答以上问题，数学立体几何三棱锥外接球问题，一招解决高考立体几何外接球问题很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

高考立体几何的小题里，外接球的问题被很多学生认为是一个难点。今天这节课我们就来把这类问题一次性研究清楚。你会发现，原来“难点”并不难，很可能只是自己在关键点的把握上始终似是而非，才一直为难下去。

(资料图片)

题目说“一招解决”，不夸张，真的就是一招，这招就是高中课本中的那个定理：

球的任一截面圆心和球心的连线垂直于该截面。反之，球心在球的任一截面上的射影是该截面的圆心。

这个有点类似于初中学的平面几何“垂径定理”的定理，可以衍生出很多的结论。这些结论不需要记住，而是要理解。

对于小圆（球的不过球心的截面）和它的任意一个内接三角形，内接三角形的外心即小圆的圆心。

所以我们知道，球心必然在过内接三角形外心、垂直于内接三角形所在平面的直线上。也就知道，对于一个球内接几何体，它的各个面过外心的垂线必然交于一点，这点就是球心。

例1. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2，则此棱锥的体积为 ___ ．

分析：SC为球O的直径，O是SC的中点，由点O在过△ABC外心且垂直于底面ABC的直线上，知点S到底面ABC的距离等于点O到底面ABC的距离的2倍，且后者很容易就求到。

具体解决数学问题时，有如下方法：

一是球心在一个面过外心（这里不限于指三角形外心了，而是拓展为到平面内各顶点距离相等的点）的垂线上。作出这条垂线，在其上设出球心，根据球心到各顶点距离相等，列方程求解。例如我们常见的棱锥外接球问题。

例2. 高为2^(1/2)/4的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、 D均在半径为1的同一个球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 ___ ．

如果是直棱柱，其实问题一样，只不过是变成了球心在上下两平行底面的过外心的共同垂线上。（圆柱的情况下，外心就成底面圆心了。）

例3. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9/8，底面周长为３，则这个球的体积为 ___ ．

特别地，当直棱柱的上下底面是正方形，问题就变成了我们熟悉的长方体外接球问题。此时体对角线为外接球直径，d=2R=(a b c)^(1/2)。

当一个三棱锥的某顶点处三条棱两两垂直（“墙角”型）时，也可以“补形”成长方体来处理。甚至更广泛的条件下，也可以构造长方体来处理。

例4. 已知点A、B、C、D在同一个球面上，AB垂直于平面BCD，BC垂直于DC，若AB=6，AC=2·(13)^(1/2)，AD=8，则B、C两点间的球面距离是 ___ ．

分析：可以构造一个以A、B、C、D为顶点，AD为体对角线的长方体。

二是球心直接由两个面过外心的垂线的交点得出。

还是上面给出的例4.

分析：球心是过直角三角形ABC外心（即AC中点）和直角三角形BCD外心（即BD中点）的垂线的交点。

还是第一节课说的那个道理：“万变不离其宗”。接住高考数学里的外接球问题，看起来很多招，“直接法”、“构造法”……其实本是一招。

本文就为大家讲解到这里，希望对大家有所帮助。

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